Varianzanalyse mit Messwiederholung (rm-ANOVA)#

Die Varianzanalyse mit Messwiederholung (Repeated Measures ANOVA, rm-ANOVA) prüft, ob sich die Mittelwerte von drei oder mehr verbundenen Messungen (z. B. zu verschiedenen Zeitpunkten) statistisch signifikant unterscheiden. Sie ist die Erweiterung des gepaarten t-Tests auf mehr als zwei Messzeitpunkte.

Wann verwenden?#

Verwende die rm-ANOVA, wenn du:

Drei oder mehr verbundene Messungen an denselben Personen vergleichen möchtest
Die abhängige Variable metrisch (stetig) ist
Die Daten annähernd normalverteilt sind
Die Sphärizitätsannahme erfüllt ist (oder korrigiert wird)

Typische Anwendungsfälle:

Messungen zu mehreren Zeitpunkten (Vorher, Während, Nachher)
Reaktionszeiten unter verschiedenen experimentellen Bedingungen
Leistungsmessungen über ein Semester hinweg

Voraussetzungen#

Verbundene Messungen (dieselben Personen werden mehrfach gemessen)
Metrisches Skalenniveau der abhängigen Variable
Normalverteilung der abhängigen Variable zu jedem Messzeitpunkt
Sphärizität (Mauchly-Test) – bei Verletzung: Greenhouse-Geisser- oder Huynh-Feldt-Korrektur
Keine extremen Ausreißer in den Differenzen

Sphärizität und Mauchly-Test#

Die Sphärizität ist eine spezifische Annahme der rm-ANOVA. Sie besagt, dass die Varianzen aller paarweisen Differenzen zwischen den Messzeitpunkten gleich sind. Diese Annahme wird mit dem Mauchly-Test überprüft:

Ist der Mauchly-Test nicht signifikant ( $p > .05$ ): Sphärizität kann angenommen werden.
Ist der Mauchly-Test signifikant ( $p \leq .05$ $p \leq .05$ ): Sphärizität ist verletzt. In diesem Fall sollten korrigierte F-Werte verwendet werden:
- Greenhouse-Geisser-Korrektur ( $\varepsilon_{GG}$ ): Konservativer, empfohlen bei $\varepsilon < 0.75$
- Huynh-Feldt-Korrektur ( $\varepsilon_{HF}$ ): Weniger konservativ, empfohlen bei $\varepsilon \geq 0.75$

Hinweis: Bei starker Verletzung der Voraussetzungen ist der Friedman-Test die geeignete nichtparametrische Alternative.

Formel#

Die Teststatistik der rm-ANOVA:

F = \frac{MS_{Bedingung}}{MS_{Fehler}}

Die Quadratsummen werden zerlegt in:

SS_{total} = SS_{Bedingung} + SS_{Personen} + SS_{Fehler}

wobei:

MS_{Bedingung} = \frac{SS_{Bedingung}}{k - 1}

MS_{Fehler} = \frac{SS_{Fehler}}{(k - 1)(n - 1)}

mit:

$k$ = Anzahl der Messzeitpunkte/Bedingungen
$n$ = Anzahl der Versuchspersonen

Die Freiheitsgrade sind $df_1 = k - 1$ und $df_2 = (k - 1)(n - 1)$ .

Bei Verletzung der Sphärizität werden die Freiheitsgrade mit dem Korrekturwert $\varepsilon$ multipliziert:

df_1^{korr} = \varepsilon \cdot (k - 1), \quad df_2^{korr} = \varepsilon \cdot (k - 1)(n - 1)

Beispiel#

Praxisbeispiel: Stresslevel im Therapieverlauf

Eine Psychologin untersucht, ob sich das Stresslevel von Patienten im Verlauf einer Therapie verändert. Sie misst das Stresslevel (mittels standardisiertem Fragebogen) bei 40 Patienten zu vier Zeitpunkten:

T1: Vor Therapiebeginn
T2: Nach 4 Wochen
T3: Nach 8 Wochen
T4: Nach 12 Wochen (Therapieende)

Da dieselben Patienten zu allen Zeitpunkten gemessen werden, liegen Messwiederholungsdaten vor. Die rm-ANOVA prüft, ob sich das mittlere Stresslevel über die vier Zeitpunkte signifikant verändert.

Mauchly-Test: Prüfung der Sphärizität ( $p = .02$ → Sphärizität verletzt)
Greenhouse-Geisser-Korrektur anwenden ( $\varepsilon_{GG} = 0.68$ )
Bei signifikantem Ergebnis: Paarweise Vergleiche mit Bonferroni-Korrektur

Effektstärke#

Partielles Eta-Quadrat ( $\eta_p^2$ ) als Maß der Effektstärke:

\eta_p^2 = \frac{SS_{Bedingung}}{SS_{Bedingung} + SS_{Fehler}}

Effektstärke	η²_p
Klein	0.01
Mittel	0.06
Groß	0.14

Tipp: Bei signifikantem Omnibus-Test sind Post-hoc-Vergleiche (z. B. mit Bonferroni-Korrektur) erforderlich, um festzustellen, welche Messzeitpunkte sich signifikant voneinander unterscheiden.

Weiterführende Literatur

Field, A. (2018). Discovering Statistics Using IBM SPSS Statistics (5. Aufl.). SAGE.
Girden, E. R. (1992). ANOVA: Repeated Measures. SAGE.