Punkt-biseriale Korrelation#

Die punkt-biseriale Korrelation ist ein Spezialfall der Pearson-Korrelation und quantifiziert den linearen Zusammenhang zwischen einer dichotomen (binären) Variable und einer kontinuierlichen Variable. Sie wird häufig eingesetzt, wenn eine natürliche Gruppierung (z. B. Geschlecht, Bestanden/Nicht bestanden) mit einem metrischen Merkmal in Beziehung gesetzt werden soll. Mathematisch ist sie identisch mit der Pearson-Korrelation, wenn die dichotome Variable mit 0 und 1 kodiert wird.

Wann verwenden?#

Eine Variable ist dichotom (genau zwei Kategorien, z. B. ja/nein, männlich/weiblich)
Die andere Variable ist metrisch (intervall- oder ratioskaliert)
Du möchtest die Stärke und Richtung des Zusammenhangs zwischen beiden Variablen bestimmen
Die Beobachtungen sind voneinander unabhängig
Als Alternative zum t-Test, wenn du ein Zusammenhangsmaß statt eines Gruppenunterschieds berichten möchtest

Voraussetzungen#

Dichotome Variable mit genau zwei Ausprägungen (0/1-kodiert)
Kontinuierliche Variable annähernd normalverteilt in beiden Gruppen
Unabhängige Beobachtungen (keine Messwiederholung)
Homogenität der Varianzen in beiden Gruppen (wünschenswert)

Formel#

Die punkt-biseriale Korrelation lässt sich direkt über die Gruppenstatistiken berechnen:

r_{pb} = \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_0}{s_n} \cdot \sqrt{\frac{n_1 \cdot n_0}{n^2}}

Dabei ist $\bar{X}_1$ der Mittelwert der Gruppe 1, $\bar{X}_0$ der Mittelwert der Gruppe 0, $s_n$ die Standardabweichung aller Werte, $n_1$ und $n_0$ die Gruppengrößen und $n$ die Gesamtstichprobe.

Alternativ kann einfach die Pearson-Korrelation zwischen der 0/1-kodierten dichotomen Variable und der kontinuierlichen Variable berechnet werden — das Ergebnis ist identisch:

r_{pb} = r_{XY} \quad \text{mit } X \in \{0, 1\}

Beispiel#

Praxisbeispiel: Geschlecht und Reaktionszeit

In einem psychologischen Experiment wird untersucht, ob ein Zusammenhang zwischen dem Geschlecht (männlich = 0, weiblich = 1) und der Reaktionszeit (in Millisekunden) besteht.

Daten (n = 10):

Männlich (0): 320, 345, 310, 298, 330 ms → $\bar{X}_0 = 320.6$ ms
Weiblich (1): 290, 275, 305, 280, 295 ms → $\bar{X}_1 = 289.0$ ms

Berechnung:

Gesamtmittelwert: $\bar{X} = 304.8$ ms
Standardabweichung: $s_n = 21.3$ ms
$n_0 = 5$ , $n_1 = 5$ , $n = 10$

r_{pb} = \frac{289.0 - 320.6}{21.3} \cdot \sqrt{\frac{5 \cdot 5}{100}} = \frac{-31.6}{21.3} \cdot 0.5 = -0.74

Interpretation: Es besteht ein starker negativer Zusammenhang ( $r_{pb} = -0.74$ ). Weibliche Teilnehmerinnen zeigen im Mittel kürzere Reaktionszeiten als männliche Teilnehmer.

Effektstärke#

Der punkt-biseriale Korrelationskoeffizient $r_{pb}$ ist selbst bereits ein Effektstärkemaß und liegt auf derselben Skala wie Pearsons $r$ :

| $|r_{pb}|$ | Interpretation | |---|---| | 0.10 | Kleiner Effekt | | 0.30 | Mittlerer Effekt | | 0.50 | Großer Effekt |

Die Konventionen entsprechen denen von Cohen (1988). Zusätzlich lässt sich das Bestimmtheitsmaß $r_{pb}^2$ berechnen, das den Anteil der erklärten Varianz angibt.

R^2 = r_{pb}^2

Weiterführende Literatur

Cohen, J. (1988). Statistical Power Analysis for the Behavioral Sciences (2. Aufl.). Lawrence Erlbaum Associates.
Bortz, J. & Schuster, C. (2010). Statistik für Human- und Sozialwissenschaftler (7. Aufl.). Springer.
Field, A. (2018). Discovering Statistics Using IBM SPSS Statistics (5. Aufl.). SAGE Publications.