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Pearson-Korrelation

Misst die Stärke und Richtung des linearen Zusammenhangs zwischen zwei metrischen Variablen

Pearson-Korrelation#

Die Pearson-Korrelation (auch: Pearson-Produkt-Moment-Korrelation) misst die Stärke und Richtung des linearen Zusammenhangs zwischen zwei metrischen Variablen. Der Korrelationskoeffizient r nimmt Werte zwischen -1 und +1 an.

Wann verwenden?#

Verwende die Pearson-Korrelation, wenn du:

  • Den linearen Zusammenhang zwischen zwei Variablen quantifizieren möchtest
  • Beide Variablen metrisch (stetig) sind
  • Die Daten annähernd normalverteilt sind
  • Du an der Richtung und Stärke des Zusammenhangs interessiert bist

Voraussetzungen#

  • Beide Variablen sind metrisch skaliert
  • Normalverteilung beider Variablen (Shapiro-Wilk-Test)
  • Linearer Zusammenhang zwischen den Variablen (Streudiagramm prüfen)
  • Keine signifikanten Ausreißer
  • Unabhängigkeit der Beobachtungspaare

Formel#

Der Pearson-Korrelationskoeffizient berechnet sich als:

r=∑i=1n(xi−xˉ)(yi−yˉ)∑i=1n(xi−xˉ)2⋅∑i=1n(yi−yˉ)2r = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 \cdot \sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2}}

Die Teststatistik zur Prüfung auf Signifikanz:

t=rn−21−r2t = \frac{r \sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}}

mit n−2n - 2 Freiheitsgraden.

Beispiel#

Praxisbeispiel: Lernzeit und Prüfungsergebnis

Eine Dozentin möchte untersuchen, ob ein Zusammenhang zwischen der Lernzeit (in Stunden) und dem Prüfungsergebnis (in Punkten) besteht. Sie erhebt die Daten von 50 Studierenden.

  • Variable X: Lernzeit in Stunden pro Woche
  • Variable Y: Prüfungsergebnis (0–100 Punkte)

Die Pearson-Korrelation ergibt r = 0.72, p < 0.001. Es besteht ein starker positiver linearer Zusammenhang: Je mehr Stunden gelernt wird, desto höher ist tendenziell das Prüfungsergebnis.

Effektstärke#

Der Korrelationskoeffizient r ist selbst bereits ein Maß der Effektstärke. Das Bestimmtheitsmaß r² gibt den Anteil erklärter Varianz an:

r2=Anteil der erkla¨rten Varianzr^2 = \text{Anteil der erklärten Varianz}

| Effektstärke | |r| | |---|---| | Klein | 0.10 | | Mittel | 0.30 | | Groß | 0.50 |

Wichtig: Korrelation bedeutet nicht Kausalität. Ein hoher Korrelationskoeffizient sagt nichts über die Ursache-Wirkungs-Beziehung aus.

Weiterführende Literatur

  • Cohen, J. (1988). Statistical Power Analysis for the Behavioral Sciences (2. Aufl.). Lawrence Erlbaum Associates.
  • Field, A. (2018). Discovering Statistics Using IBM SPSS Statistics (5. Aufl.). SAGE.