Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test#

Der Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test ist die nichtparametrische Alternative zum gepaarten t-Test. Er prüft, ob sich zwei verbundene Stichproben signifikant unterscheiden, ohne eine Normalverteilung der Differenzen vorauszusetzen.

Wann verwenden?#

Verwende den Wilcoxon-Test, wenn du:

Zwei gepaarte Messungen vergleichen möchtest (z. B. vorher/nachher)
Die Daten mindestens ordinalskaliert sind
Die Differenzen nicht normalverteilt sind oder die Stichprobe klein ist
Eine nichtparametrische Alternative zum gepaarten t-Test benötigst

Voraussetzungen#

Gepaarte (verbundene) Beobachtungen
Mindestens ordinales Skalenniveau
Symmetrische Verteilung der Differenzen um den Median
Unabhängigkeit der Paare voneinander

Formel#

Für jedes Paar wird die Differenz $d_i = X_{i,1} - X_{i,2}$ berechnet. Die Differenzen werden nach ihrem Absolutbetrag rangiert. Die Teststatistik ist:

W = \sum_{i=1}^{n} \text{sgn}(d_i) \cdot R_i

wobei $R_i$ der Rang des Absolutbetrags der Differenz $|d_i|$ ist und $\text{sgn}(d_i)$ das Vorzeichen der Differenz.

Alternativ kann $W$ als die kleinere der beiden Rangsummen berechnet werden:

W = \min(W^+, W^-)

wobei $W^+$ die Summe der positiven Ränge und $W^-$ die Summe der negativen Ränge ist.

Beispiel#

Praxisbeispiel: Schmerztherapie

Ein Therapeut möchte die Wirksamkeit einer neuen Schmerztherapie untersuchen. 15 Patienten bewerten ihre Schmerzintensität auf einer Skala von 0–10 vor und nach der Therapie.

Messung 1: Schmerzwert vor der Therapie
Messung 2: Schmerzwert nach der Therapie

Da die Schmerzskala ordinal ist und die Stichprobe klein ist, wird der Wilcoxon-Test anstelle des gepaarten t-Tests verwendet, um zu prüfen, ob die Therapie die Schmerzen signifikant reduziert.

Effektstärke#

Die Effektstärke $r$ wird aus der standardisierten Teststatistik berechnet:

r = \frac{Z}{\sqrt{n}}

wobei $Z$ der z-approximierte Wert der Teststatistik und $n$ die Anzahl der Paare ist.

Effektstärke	r
Klein	0.1
Mittel	0.3
Groß	0.5

Weiterführende Literatur

Wilcoxon, F. (1945). Individual comparisons by ranking methods. Biometrics Bulletin, 1(6), 80–83.
Field, A. (2018). Discovering Statistics Using IBM SPSS Statistics (5. Aufl.). SAGE.