Mann-Whitney-U-Test#

Der Mann-Whitney-U-Test (auch: Wilcoxon-Rangsummentest) ist ein nichtparametrischer Test zum Vergleich zweier unabhängiger Gruppen. Er prüft, ob die Verteilungen beider Gruppen sich systematisch unterscheiden, und ist die nichtparametrische Alternative zum t-Test für unabhängige Stichproben.

Wann verwenden?#

Verwende den Mann-Whitney-U-Test, wenn du:

Zwei unabhängige Gruppen vergleichen möchtest
Die abhängige Variable mindestens ordinal skaliert ist
Die Normalverteilungsannahme des t-Tests verletzt ist
Die Stichprobe klein ist und die Verteilungsform unklar ist

Der Test basiert auf Rängen statt auf den Rohwerten und setzt daher keine bestimmte Verteilungsform voraus.

Voraussetzungen#

Unabhängigkeit der Beobachtungen (sowohl zwischen als auch innerhalb der Gruppen)
Mindestens ordinales Skalenniveau der abhängigen Variable
Ähnliche Verteilungsform in beiden Gruppen (für Interpretation als Medianvergleich)
Die Variable ist zumindest stetig genug, sodass Bindungen (Ties) selten sind

Hinweis: Streng genommen testet der Mann-Whitney-U-Test, ob ein zufällig gewählter Wert aus Gruppe 1 mit gleicher Wahrscheinlichkeit größer oder kleiner ist als ein zufällig gewählter Wert aus Gruppe 2. Nur bei ähnlicher Verteilungsform kann er als Medianvergleich interpretiert werden.

Formel#

Die U-Statistik wird für beide Gruppen berechnet. Zunächst werden alle Werte gemeinsam in eine Rangreihe gebracht. Dann gilt:

U_1 = n_1 n_2 + \frac{n_1(n_1 + 1)}{2} - R_1

U_2 = n_1 n_2 + \frac{n_2(n_2 + 1)}{2} - R_2

wobei:

$n_1$ und $n_2$ die Stichprobenumfänge der beiden Gruppen sind
$R_1$ und $R_2$ die Rangsummen der jeweiligen Gruppen sind

Es gilt stets: $U_1 + U_2 = n_1 \cdot n_2$

Die Teststatistik ist $U = \min(U_1, U_2)$ .

Für große Stichproben ( $n_1, n_2 > 20$ ) kann eine z-Approximation verwendet werden:

z = \frac{U - \frac{n_1 n_2}{2}}{\sqrt{\frac{n_1 n_2 (n_1 + n_2 + 1)}{12}}}

Beispiel#

Praxisbeispiel: Patientenzufriedenheit

Ein Krankenhaus möchte die Zufriedenheit von Patienten auf zwei Stationen vergleichen. Die Zufriedenheit wird auf einer Likert-Skala (1–5) erfasst – die Daten sind daher ordinal und nicht normalverteilt.

Station A (n=25): Zufriedenheitswerte der Patienten
Station B (n=30): Zufriedenheitswerte der Patienten

Da die Daten ordinal skaliert sind und die Normalverteilungsannahme nicht erfüllt ist, wird der Mann-Whitney-U-Test statt des t-Tests verwendet. Alle 55 Werte werden in eine gemeinsame Rangreihe gebracht, und die Rangsummen der beiden Gruppen werden verglichen.

Effektstärke#

Der Rangbiseriale Korrelationskoeffizient $r_{rb}$ als Maß der Effektstärke:

r_{rb} = 1 - \frac{2U}{n_1 n_2}

Alternativ kann auch $r$ aus der z-Statistik berechnet werden:

r = \frac{z}{\sqrt{N}}

Effektstärke	r
Klein	0.1
Mittel	0.3
Groß	0.5

Tipp: Bei signifikantem Ergebnis sollte neben dem p-Wert immer auch die Effektstärke berichtet werden. Der Mann-Whitney-U-Test hat bei Verletzung der Normalverteilungsannahme oft eine höhere statistische Power als der t-Test.

Weiterführende Literatur

Mann, H. B. & Whitney, D. R. (1947). On a test of whether one of two random variables is stochastically larger than the other. Annals of Mathematical Statistics, 18(1), 50–60.
Field, A. (2018). Discovering Statistics Using IBM SPSS Statistics (5. Aufl.). SAGE.