Ein-Stichproben-t-Test#

Der Ein-Stichproben-t-Test (auch: Einstichproben-t-Test) prüft, ob der Mittelwert einer Stichprobe signifikant von einem bekannten oder hypothetischen Referenzwert $\mu_0$ abweicht.

Wann verwenden?#

Verwende den Ein-Stichproben-t-Test, wenn du:

Den Mittelwert einer einzelnen Stichprobe mit einem bekannten Referenzwert vergleichen möchtest
Die abhängige Variable metrisch (stetig) ist
Die Daten annähernd normalverteilt sind

Typische Fragestellungen:

Weicht der mittlere IQ einer Klasse signifikant von 100 ab?
Ist die durchschnittliche Produktionszeit verschieden vom Sollwert?

Voraussetzungen#

Unabhängigkeit der Beobachtungen
Metrisches Skalenniveau der abhängigen Variable
Normalverteilung der Daten (Shapiro-Wilk-Test)
Der Referenzwert μ₀ ist bekannt oder theoretisch begründet

Hinweis: Bei Verletzung der Normalverteilungsannahme (z. B. bei kleiner Stichprobe und schiefer Verteilung) ist der Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test als Ein-Stichproben-Version (Vergleich des Medians mit einem Referenzwert) die geeignete Alternative.

Formel#

Die Teststatistik berechnet sich als:

t = \frac{\bar{X} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}

wobei:

$\bar{X}$ der Stichprobenmittelwert ist
$\mu_0$ der hypothetische Referenzwert (Populationsmittelwert unter $H_0$ ) ist
$s$ die Stichprobenstandardabweichung ist
$n$ der Stichprobenumfang ist

Die Teststatistik folgt einer t-Verteilung mit $df = n - 1$ Freiheitsgraden.

Beispiel#

Praxisbeispiel: Füllmenge von Getränkeflaschen

Ein Qualitätsmanager möchte prüfen, ob die mittlere Füllmenge einer Abfüllanlage dem Sollwert von 500 ml entspricht. Er entnimmt eine Zufallsstichprobe von 30 Flaschen und misst deren Füllmenge.

Stichprobe: n = 30 Flaschen
Referenzwert $\mu_0$ : 500 ml (Sollwert)
Fragestellung: Weicht die mittlere Füllmenge signifikant von 500 ml ab?

Der Ein-Stichproben-t-Test prüft die Nullhypothese $H_0: \mu = 500$ gegen die Alternativhypothese $H_1: \mu \neq 500$ (zweiseitig).

Effektstärke#

Cohens d als Maß der Effektstärke:

d = \frac{\bar{X} - \mu_0}{s}

Effektstärke	Cohens d
Klein	0.2
Mittel	0.5
Groß	0.8

Tipp: Die Effektstärke gibt an, wie stark der Stichprobenmittelwert in Einheiten der Standardabweichung vom Referenzwert abweicht. Sie ist unabhängig von der Stichprobengröße und erleichtert die Vergleichbarkeit zwischen Studien.

Weiterführende Literatur

Student (1908). The probable error of a mean. Biometrika, 6(1), 1–25.
Field, A. (2018). Discovering Statistics Using IBM SPSS Statistics (5. Aufl.). SAGE.