Exakter Test nach Fisher#

Der exakte Test nach Fisher ist ein statistischer Test zur Prüfung der Unabhängigkeit in einer 2×2-Kreuztabelle. Im Gegensatz zum Chi-Quadrat-Test berechnet er den exakten p-Wert und ist daher besonders bei kleinen Stichproben geeignet, bei denen die Approximation des Chi-Quadrat-Tests nicht zuverlässig ist.

Wann verwenden?#

Verwende den Fisher-Test, wenn du:

Den Zusammenhang zwischen zwei dichotomen Variablen untersuchen möchtest
Eine 2×2-Kreuztabelle vorliegt
Die erwarteten Häufigkeiten in einer oder mehreren Zellen kleiner als 5 sind
Die Stichprobe klein ist (typischerweise $N < 30$ )
Einen exakten p-Wert ohne Approximation benötigst

Voraussetzungen#

2×2-Kreuztabelle (zwei dichotome Variablen)
Unabhängige Beobachtungen
Feste Randsummen oder zufällige Stichprobe
Zufällige Zuordnung der Beobachtungen

Formel#

Die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Anordnung in der 2×2-Tabelle wird über die hypergeometrische Verteilung berechnet:

p = \frac{\binom{a+b}{a} \binom{c+d}{c}}{\binom{N}{a+c}} = \frac{(a+b)! \cdot (c+d)! \cdot (a+c)! \cdot (b+d)!}{N! \cdot a! \cdot b! \cdot c! \cdot d!}

für eine Tabelle der Form:

	Spalte 1	Spalte 2
Zeile 1	a	b
Zeile 2	c	d

Der p-Wert ergibt sich als Summe aller Wahrscheinlichkeiten, die gleich oder extremer als die beobachtete Verteilung sind.

Beispiel#

Praxisbeispiel: Nebenwirkung eines Medikaments

In einer kleinen klinischen Studie wird untersucht, ob ein Medikament eine bestimmte Nebenwirkung verursacht. 20 Patienten werden untersucht:

	Nebenwirkung	Keine Nebenwirkung	Summe
Medikament	4	6	10
Placebo	1	9	10
Summe	5	15	20

Da die erwartete Häufigkeit für "Placebo/Nebenwirkung" nur $\frac{10 \cdot 5}{20} = 2{,}5$ beträgt, ist der Chi-Quadrat-Test nicht zuverlässig. Der exakte Test nach Fisher liefert den exakten p-Wert.

Effektstärke#

Das Odds Ratio (OR) als Effektstärke:

OR = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

Interpretation	Odds Ratio
Kein Effekt	1.0
Kleiner Effekt	1.5
Mittlerer Effekt	2.5
Großer Effekt	4.3

Alternativ kann auch Cramers V oder der Phi-Koeffizient verwendet werden:

\phi = \frac{ad - bc}{\sqrt{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}}

Weiterführende Literatur

Fisher, R. A. (1935). The Design of Experiments. Oliver and Boyd.
Agresti, A. (2007). An Introduction to Categorical Data Analysis (2. Aufl.). Wiley.